Lingkaran yaitu himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan melalui susunan persamaan lingkaran, berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran. Berikut ini 11 soal dan pembahasan tentang lingkaran. Agar lebih paham, sebelum mengerjakan soal-soal latihan ada baiknya Gengs pelajari materinya terlebih dahulu. Soal 1 Persamaan garis singgung lingkaran x-5²+y+3²=61, pada titik -1,2 adalah… Jawaban Selidiki dahulu apakah -1,2 terletak pada lingkaran x-5²+y+3²=61. Substitusikan titik -1,2 dimana x=-1 dan y=2 ke dalam persamaan. x-5² + y+3²=61 -1-5² + 2+3²61 -6² + 5² =61 36+25 = 61 Persamaan garis singgungnya adalah x-5²+y+3²=61 -1-5x-5+2+3y+3=61 -6x-5+5y+3=61 -6x+30+5y+15=61 -6x+5y=61-30-15 -6x+5y=16 Soal 2 Persamaan garis singgung di titik 6,4 pada lingkaran x²+y²-4x-2y-20=0 adalah… Jawaban x²+y²-4x-2y-20=0 di titik 6,4 xx₁ + yy₁ – ½ 4x+x₁ – ½ 2y+y₁ – 20 = 0 x6 + y4 – 2x+6 – y+4 – 20 = 0 6x + 4y – 2x – 12 – y – 4 – 20 = 0 4x + 3y – 36 = 0 Soal 3 Persamaan garis singgung lingkaran x²+y²-6x+8y+5=0 di titik 1,0 adalah… Jawaban x²+y²-6x+8y+5=0 di titik 1,0 xx₁ + yy₁ – ½ 6x+x₁ + ½ 8y+y₁+ 5 = 0 x1 + y0 – 3x+1 + 4y+0 + 5 = 0 x – 3x – 3 + 4y + 5 = 0 -2x + 4y + 2 = 0 x – 2y -1 = 0 Soal 4 Persamaan garis singgung pada lingkaran x²+y²-2x-4y-21=0 yang melalui titik 2,3 adalah… Jawaban x²+y²-2x-4y-21=0 Dari persamaan tersebut akan kita tentukan titik pusatnya. Dari persamaan tersebut juga A=-2 dan B=-4. Untuk mencari persamaan lingkaran ,kita harus mencari titik pusat dan jari-jarinya r . Tititk pusat = -1/2 A, -1/2 B = -1/2-2, -1/2-4 = 1,2 Titik pusatnya telah di temukan sedangkan titik yang dilalui lingkaran telah diketahui pada soal yaitu titik 2,3. Selanjutnya kita cari jari-jarinya. r = √¼⨯A² + ¼⨯B² – C = √ ¼⨯-2² + ¼⨯-4² – -21 = √ ¼⨯4 + ¼⨯16 +21 = √1 + 4 + 21 = √26 Dengan demikian pesamaan lingkarannya yaitu x-a x₁-a + y-by₁-b=r² x-1 2-1 + y-2 3-2 = √26² x-1 +y-2=26 x+y-1-2=26 x+y-29=0 Soal 5 Persamaan garis singgung pada lingkaran x+2²+y-1²=12 di titik 5,-4 adalah… Jawaban Langkah pertama adalah mengecek apakah titik 5,-4 terletak pada lingkaran, caranya yaitu Substitusikan 5,-4 ke x+2²+y-1²=12 ⇔5+2²+-4-1²=12 ⇔7²+-5²=12 ⇔49+25=12 Jadi, titik 5,-4 terletak DILUAR lingkaran. Karena persamaan lingkarannya adalah x+2²+y-1²=12 maka, Titik pusat = -2,-1=-2,1 Persamaan garis singgung yang melalui titik 5,-4 dan bertitik pusat di-2,1 adalah x₁-ax-a + y₁-by-b =r² Dengan, x₁=5, y₁=-4, a=-2, b=1 dan r²=12 Dengan demikian persamaan garis singgungnya adalah 5-2x-2 + -4-1y-1 =12 7x+2 + -5y-1 = 12 7x+14-5y+5=12 7x-5y+19=12 7x-5y+7=0 Soal 6 Persamaan lingkaran yang pusatnya O0,0 dan menyinggung garis x+y-4=0 adalah… Jawaban Karena lingkaran berpusat di titik O0,0 maka persamaan lingkarannya adalah x²+y²=r² namun kita harus mencari jari-jari r nya terlebih dahulu. Karena persamaan lingkaran menyinggung suatu garis, maka jari-jarinya adalah jarak dari titik pusat terhadap garis itu. r = 10+10-4/√1¹+1² =-4/√2 =2√2 Ingat jarak selalu bernilai positif oleh karena itu kita beri tanda mutlak. Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x²+y²=r² x²+y²=2√2 ² x²+y²=8 Soal 7 Persamaan lingkaran yang pusatnya O3,2 dan menyinggung garis x-7=0 adalah… Jawaban Persamaan lingkarannya adalah x-a²+y-b²=r², a dan b yaitu titik pusat dimana pada soal telah diberikan titik pusatnya yaitu 3 dan 2. Untuk mencari persamaan lingkaran, kita harus mencari jari-jari r nya terlebih dahulu. Karena lingkaran tersebut menyinggung suatu garis x-7=0, maka jari-jarinya adalah jarak dari titik pusat terhadap garis itu. r = 13+02-7/√1²+0² =-4/√1 =4 Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x-a²+y-b²=r² x-3²+y-2²=4² x² -6x+9+y²-4y+4=16 x²+y²-6x-4y+13=16 x²+y²-6x-4y-3=0 Soal 8 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik 3,2 dan diameyernya 4√17 adalah… Jawaban Persamaan lingkarannya adalah x-a²+y-b²=r² Diketahui a=4 b=-3 dan r=1/2d =1/24√17 =2√17 Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x-a²+y-b²=r² x-4²+y+3²=2√17 ² x² -8x+16+y²+6y+9=68 x²+y²-8x+6y+25-68=0 x²+y²-8x+6y-43=0 Soal 9 Lingkaran dengan persamaan x²+y²+ax+by+c=0 melalui titik-titik 2,1,1,2 dan 1,0. Persamaan lingkaran tersebut adalah… Jawaban Melalui titik 2,1 x²+y²+ax+by+c=0 2²+1²+2a+b+c=0 2a+b+c=-5 …..1 Melalui titik 1,2 x²+y²+ax+by+c=0 1²+2²+a+2b+c=0 a+2b+c=-5 …..2 Melalui titik 1,0 x²+y²+ax+by+c=0 1²+0²+a+0b+c=0 a+c=-1 …..3 Kita akan mencari nilai solusi untuk a,b dan c. Dari 2 dan 3 a+2b+c=-5 a+c=-5-2b -1=-5-2b -2b=4 b=-2 Substitusikan b=-2 ke dalam 1 sehingga diperoleh persamaan baru. 2a+b+c=-5 2a-2+c=-5 2a+c=-3 c=-3-2a ….4 Substitusi 4 ke dalam 3 a+c=-1 a+-3-2a=-1 a-3-2a=-1 -a=2 a=-2 Substitusikan a=-2 dan b=-2 ke dalam 2. a+2b+c=-5 -2+2-2+c=-5 -2-4+c=-5 c=1 Dengan demikian persamaan lingkarannya adalah x²+y²+ax+by+c=0 x²+y²-2x-2y+1=0 Soal 10 Persamaan lingkaran yang berpusat di 2,3 dengan jari-jari 4 adalah… Jawaban Jika diketahui suatu lingkaran titik pusatnya di a,b dan jari-jari r maka persamaan lingkarannya yaitu x-a²+y-b²=r² x-2²+y-3²=4² x²-4x+4+y²-6y+9=16 x²+y²-4x-6y+13=16 x²+y²-4x-6y-3=0 Soal 11 Lingkaran yang mempunyai persamaan x²+y²+4x-6y+13=0 merupakan lingkaran yang berpusat di… Jawaban x²+y²+4x-6y+13=0 Dari persamaan lingkaran tersebut diketahui A=4, B=-6 dan C=13 Pusat lingkaran= -1/2A,-1/2B=-1/24,-1/2-6=-2,3